集合 の 要素 の 個数, クリニーク モイスチャー サージ 72 ハイド レーター
部分集合 集合\(A\)と集合\(B\)があるとします。 集合\(A\)の要素がすべて集合\(B\)の要素にもなっているとき、「\(A\)は\(B\)の 部分集合 である」といいます。 これを小難しく書くと下のような定義になります。 部分集合 \(x\in{A}\)を満たす任意の\(x\)が、\(x\in{B}\)を満たすとき、「\(A\)は\(B\)の 部分集合 である」といい、\(A\subset{B}\)(または、\(B\supset{A}\))と表す。 数学でいう「任意」とは「すべて」という意味だよ! 「\(A\)は\(B\)の部分集合である」は、 「\(A\)は\(B\)に含まれる」や「\(B\)は\(A\)を含む」ともいいます。 例えば、集合\(A, B\)が、 $$A=\{2, 3\}\, \ B=\{1, 2, 3, 4, 5\}$$ とします。 このとき、\(A\)の要素2, 3はどちらも\(B\)の要素にもなっているので、\(A\)は\(B\)の部分集合\(A\subset{B}\)であると言えます。 さらに、\(A\)と\(B\)の要素が一致しているとき、集合\(A\)と\(B\)は等しいといい、数のときと同様にイコールで \(A=B\) と表します。 \(A=B\)とは、「\(A\subset{B}\)かつ\(A\supset{B}\)を満たす」とも言えます。 3. 共通部分と和集合 共通部分 まずは 共通部分 から説明します。 集合\(A, B\)を次のように定めます。 $$A=\{1, 4, 5, 8\} \, \ B=\{1, 2, 3, 4, 5\}$$ このとき、\(A\)と\(B\)の 両方の要素 になっているのは、 1, 4, 5 の3つです。 この3つを\(A\)と\(B\)の共通部分といい、\(A\cap{B}\)と表します。 つまり、 $$A\cap{B}=\{1, 4, 5\}$$ となります。 共通部分 \(A\)と\(B\)の両方に含まれる要素全体の集合を、\(A\)と\(B\)の 共通部分 といい、\(A\cap{B}\)で表す。 和集合 集合 $$A=\{1, 4, 5, 8\} \, \ B=\{1, 2, 3, 4, 5\}$$ に対して、\(A\)か\(B\)の 少なくともどちらか一方に含まれている要素 は、 1, 2, 3, 4, 5, 8 です。 この6つを\(A\)と\(B\)の 和集合 といい、\(A\cap{B}\)といいます。 つまり、 $$A\cap{B}=\{1, 2, 3, 4, 5, 8\}$$ となります。 和集合 \(A\)と\(B\)の少なくともどちらか一方に含まれる要素全体の集合を、\(A\)と\(B\)の 和集合 といい、\(A\cup{B}\)で表す。
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集合の要素の個数 公式
8 ms per loop (mean ± std. of 7 runs, 1 loop each)%% timeit s_large_ = set ( l_large) i in s_large_ # 746 µs ± 6. 7 µs per loop (mean ± std. of 7 runs, 1000 loops each) なお、リストから set に変換するのにも時間がかかるので、 in の処理回数が少ないとリストのままのほうが速いこともある。 辞書dictの場合 キーと値が同じ数値の辞書を例とする。 d = dict ( zip ( l_large, l_large)) print ( len ( d)) # 10000 print ( d [ 0]) # 0 print ( d [ 9999]) # 9999 上述のように、辞書 dict をそのまま in 演算で使うとキーに対する判定となる。辞書のキーは集合 set と同様に一意な値であり、 set と同程度の処理速度となる。%% timeit i in d # 756 µs ± 24. 9 µs per loop (mean ± std. of 7 runs, 1000 loops each) 一方、辞書の値はリストのように重複を許す。 values() に対する in の処理速度はリストと同程度。 dv = d. values ()%% timeit i in dv # 990 ms ± 28. of 7 runs, 1 loop each) キーと値の組み合わせは一意。 items() に対する in の処理速度は set + αぐらい。 di = d. 高校数学の集合で要素の個数の求め方【大学受験対策にも】｜タロウ岩井の数学と英語｜note. items ()%% timeit ( i, i) in di # 1. 18 ms ± 26. 2 µs per loop (mean ± std. of 7 runs, 1000 loops each) for文やリスト内包表記におけるin for文やリスト内包表記の構文においても in という語句が使われる。この in は in 演算子ではなく、 True または False を返しているわけではない。 for i in l: print ( i) # 1 # 2 print ([ i * 10 for i in l]) # [0, 10, 20] for文やリスト内包表記についての詳細は以下の記事を参照。 リスト内包表記では条件式として in 演算子を使う場合があり、ややこしいので注意。 関連記事: Pythonで文字列のリスト(配列)の条件を満たす要素を抽出、置換 l = [ 'oneXXXaaa', 'twoXXXbbb', 'three999aaa', '000111222'] l_in = [ s for s in l if 'XXX' in s] print ( l_in) # ['oneXXXaaa', 'twoXXXbbb'] はじめの in がリスト内包表記の in で、うしろの in が in 演算子。
集合の要素の個数 記号
\(1 \in \mathcal{A}\), \(2 \in \mathcal{A}\) (?1, 2は中身に書いてあるから含んでいる?) 集合と要素というのは相対的な言葉なので、「要素」「部分集合」という言葉を聞いたら、何の要素なのか、何の部分集合なのかを意識しましょう。 数学では、しばしば集合が持つ性質を調べたいことがあります。例えば、平面の点の集まり=部分集合は何らかの図形を表すと捉えられますが、その集合が開いているか: 開集合 かどうか、という性質を考えましょう。このとき、\(A\)が開集合であるという性質は、集合族の観点からは次のように言い換えられます。\(\mathcal{O}\)を開集合全体のなす集合(部分集合族)とすると、\(A \in \mathcal{O}\)であると。 「集合\(A\)は部分集合であって、何らかの性質を満たす」ことは、\(A \in \mathcal{A}\)と表せます。「全体集合とその部分集合」という視点と「部分集合族とその要素(部分集合)」という視点の行き来は、慣れるまで難しいかもしれませんが、とても便利です。 参考: ユークリッド空間の開集合、閉集合、開球、近傍とは何か? 、 ユークリッド空間における開集合、閉集合の性質:実数の区間を例に べき集合の性質 べき集合の性質には、どんなものがあるでしょうか。 「\(A \subset X \)と\(A \in \mathcal{P}(X)\)が同値」は基本的ですね。これがべき集合の定義です。 べき集合について考えようとすると、空集合と全体集合が必ず含まれることに気づくでしょう。集合\(X\)を全体集合とするとき、 空集合\(\varnothing\)は常に部分集合ですし (見逃さないように!
集合の要素の個数 難問
検索用コード 異なるn個のものから重複を許して}r個取って並べる順列の総数}は 通常の順列と同じく, \ 単なる{「積の法則」}である. 公式として暗記するものではなく, \ 式の意味を考えて適用する. 1個取るときn通りある. \ r個取って並べる場合の数は {n n n}_{r個}=n^r} P nrは, \ 異なるn個から異なるr個を取り出すから, \ 常にn rであった. これは, \ {実物はn個しかなく, \ その中からr個取り出す}ということである. 重複順列では, \ 同じものを何度でも取り出せるから, \, にもなりうる. つまり, \ {実物は異なるn個のものがそれぞれ無限にある}と考えてよいのである. 例えば, \ 柿と苺を重複を許して8個取り出して並べるときの順列の総数は 2^{8} この中には, \ 柿8個を取り出す場合や苺8個を取り出す場合も含まれている. もし, \ 柿や苺の個数に制限があれば, \ その考慮が必要になり, \ 話がややこしくなる. 4個の数字0, \ 1, \ 2, \ 3から重複を許して選んでできる5桁以下の整数の$ $個数を求めよ. $ 4個の数字から重複を許して5個選んで並べればよい. 普通に考えると, \ {桁数で場合分け}することになる. \ これは{排反}な場合分けである. 例として, \ 3桁の整数の個数を求めてみる. {百}\ 1, \ 2, \ 3の3通り. {十}\ 0, \ 1, \ 2, \ 3の4通り. {一}\ 0, \ 1, \ 2, \ 3の4通り. 百の位の3通りのいずれに対しても十の位は4通りであるから, \ 34=12通り. さらにその12通りのいずれに対しても, \ 一の位は4通りある. Pythonで複数のリストに共通する・しない要素とその個数を取得 | note.nkmk.me. 結局, \ {積の法則}より, \ 344となる. \ 他の桁数の場合も同様である. 最高位以外は, \ {0, \ 1, \ 2, \ 3の4個から重複を許して取って並べる重複順列}となる. 重複順列の部分を累乗の形で書くと, \ 本解のようになる. さて, \ 本問は非常にうまい別解がある. 5桁の整数の個数を求めるとき, \ 最高位に0が並ぶことは許されない. しかし, \ 本問は{5桁以下のすべての整数の個数}を求める問題である. このとき, \ {各桁に0, \ 1, \ 2, \ 3のすべてを入れることができると考えてよい. }
集合の要素の個数 問題
集合と命題の単元の項目で問題集で取り扱われている内容ではやや不十分な印象を受けるので解説と補足の演習問題をここに掲載しておきます. ド・モルガンの法則の覚え方 \(\cup\)を\(\cap\)に変更して補集合の記号で繋がっているものを切り分ける.\(\overline{A\cup B}\) で\(\cup \rightarrow \cap\)として\(A\)と\(B\)を分割する.結果,\(\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) \(\overline{A \cap B}\)も同様である. 集合に関する幾つかの問題 問: 全体集合\(U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)とする.集合\(A=\{3, 4, 6, 7\}\), \(B=\{1, 3, 6\}\)とする.次の問に答えなさい. (1)\(A \cup B\)を求めなさい. 解:集合\(A\)と集合\(B\)の和集合なので,求める和集合は\(A \cup B = \{1, 3, 4, 6, 7\}\) (2)\(A \cap B\)を求めなさい. 解:共通部分なので,求める共通部分は\(A \cap B=\{3, 6\}\) (3)\(\overline{B}\) を求めなさい. 解:\(B\)の補集合なので,全体集合\(U\)より\(B\)を除いたもの,よって\(\overline{B}=\{2, 4, 5, 7, 8, 9\}\) (4)\(A \cap \overline{B}\)を求めなさい. 解:\(A\)と\(\overline{B}\)の共通部分なので,\(A \cap \overline{B}=\{4, 7\}\) 問:要素の個数(10〜30として考えると実際に数えることができますね) \(100\) から \(300\)までの自然数について,次の問に答えよ. (1)要素は全部でいくつかあるか. (2)2の倍数はいくつあるか. (3)7の倍数はいくつあるか. (4)7の倍数ではないものはいくつあるか. 集合の要素の個数 問題. (5)2の倍数または7の倍数はいくつあるか. (6) 2の倍数でも7の倍数でもないものはいくつあるか. 【 解答 】 \(100\) から\( 300\)までの自然数を全体集合として\(U\)とすると, \(U=\{x| 100 \leq x \leq 300, xは整数\}\)と表現できる.
(1)\(n(U)\)は集合\(U\)に属している要素の個数を表すことにする. \(n(U) = 300 – 100 + 1\)より ∴\(n(U) = 201\) (2)2の倍数の集合を\(A\)とする. \(100 \leq 2 \times N \)を満足する最小の\(N\)は\(N=50\)である. 次に\(2\times N \leq 300\)を満たす最大の\(N\)は\(150\)である. よって\(N=50 〜 150\)までの\(n(A)=101\)個ある. 集合の要素の個数 難問. (3)7の倍数の集合を\(B\)とする.前問に倣って,\(\displaystyle{\frac{100}{7}\leq N \leq\frac{300}{7}}\)より\(N\)(Nは自然数)の範囲を求める. (4)\( (Bでないものの個数) = (全体集合 Uの個数) – (Bの個数)\)で求めることができる. これまでの表記法を用いて\(n(\overline{B}) = n(U) – n(B)\)と記述できる. (5)\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap B)\) 集合\(A\)の要素数と集合\(B\)の要素数を加算し,共通部分が重なりあって加算されているので\(n(A \cup B)\)を減ずれば良い. 命題と真偽 命題とは『〜ならば,ーである』というように表現された文を言います.ただし,この文が正しいか正しくないかを客観的に評価できるような文でないといけません.「〜ならば」を前提・条件と言い,「ーである」を結論といいます.この前提と結論が数学的に表現(数式で記述)されていると,正しいか正しくないか一意に評価可能ですね.(証明されていないものもあるにはありますが,,,.)命題が正しい場合は「真」,正しくない場合は「偽」といいます.幾つか例を示しておきます. 命題『\(p\)ならば\(q\)』であるという記述を数学では \(p \Longrightarrow q\) と書きます.小文字であることに注意しておいて下さい. 命題の例 \(x\)は実数,\(n=自然数\)とします. (1) \(x < -4 \Longrightarrow 2x+4 \le 0\) 結論部の不等式を解くと,\(x \le -2\)となり,前提・条件の\(x\)はこの中全て含まれるのでこの命題は真である.
count ( x) == 1] print ( l_all_only) # ['a', 'e'] なお、この方法だと元のリストが重複する要素を持っていた場合、その要素も除外される。 l1_duplicate = [ 'a', 'a', 'b', 'c'] l_duplicate_all = l1_duplicate + l2 + l3 l_duplicate_all_only = [ x for x in set ( l_duplicate_all) if l_duplicate_all. count ( x) == 1] print ( l_duplicate_all_only) # ['e'] 最初に各リストごとに重複した要素を削除してユニークな要素のみのリストにしてから処理すれば、各リストにのみ含まれる要素を抽出可能。 l_unique_all = list ( set ( l1_duplicate)) + list ( set ( l2)) + list ( set ( l3)) print ( l_unique_all) # ['c', 'b', 'a', 'c', 'b', 'd', 'c', 'd', 'e'] l_uniaues_all_only = [ x for x in set ( l_unique_all) if l_unique_all. count ( x) == 1] print ( l_uniaues_all_only) 複数のリストから重複を取り除きユニークな(一意な)値の要素を抽出したい場合は、リストをすべて足し合わせてから集合 set() 型に変換する。 l1_l2_or = set ( l1 + l2) print ( l1_l2_or) # {'c', 'b', 'a', 'd'} print ( list ( l1_l2_or)) # ['c', 'b', 'a', 'd'] print ( len ( l1_l2_or)) # 4 l1_l2_l3_or = set ( l1 + l2 + l3) print ( l1_l2_l3_or) 元のリストの順序を保持したい場合は以下の記事を参照。 関連記事: Pythonでリスト(配列)から重複した要素を削除・抽出
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