フェルマー の 最終 定理 証明 論文
こんにちは、ウチダショウマです。 今日は、誰もが一度は耳にしたことがあるであろう 「フェルマーの最終定理(フェルマーの大定理)」 の証明が載ってある論文を理解するために、その論文が発表されるまでのストーリーなどの背景知識も踏まえながら、 圧倒的にわかりやすく解説 していきたいと思います! 目次 フェルマーの最終定理とは いきなりですが定理の紹介です。 (フェルマーの最終定理) $3$ 以上の自然数 $n$ について、$$x^n+y^n=z^n$$となる自然数の組 $(x, y, z)$ は存在しない。 17世紀、フランスの数学者であるピエール・ド・フェルマーは、この定理を提唱しました。 しかし、フェルマー自身はこの定理の証明を残さず、代わりにこんな言葉を残しています。 この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。 ※ Wikipedia より引用 これ、かっこよすぎないですか!? ただ、後世に残された我々からすると、 「余白見つけてぜひ書いてください」 と言いたくなるところですね(笑)。 まあ、この言葉が真か偽かは置いといて、フェルマーの死後、いろんな数学者たちがこの定理の証明に挑戦しましたが、結局誰も証明できずに 300年 ほどの月日が経ちました。 これがフェルマーの"最終"定理と呼ばれる理由でしょう。 しかし! 時は1995年。 なんとついに、 イギリスの数学者であるアンドリュー・ワイルズによって、フェルマーの最終定理が完全に証明されました! フェルマーの最終定理(n=4)の証明【無限降下法】 - YouTube. 証明の全容を載せたいところですが、 この余白はそれを書くには狭すぎる ので、今日はフェルマーの最終定理が提唱されてから証明されるまでの300年ものストーリーを、数学的な話も踏まえながら解説していきたいと思います♪ スポンサーリンク フェルマーの最終定理の証明【特殊】 さて、まず難解な定理を証明しようとなったとき、最初に出てくる発想が 「具象(特殊)化」 です。 今回、$n≧3$ という非常に広い範囲なので、まずは $n=3$ や $n=4$ あたりから証明していこう、というのは自然な発想ですよね。 ということで、 "個別研究の時代" が幕を開けました。 $n=4$ の準備【無限降下法と原始ピタゴラス数】 実はフェルマーさん、$n=4$ のときだけは証明してたんですね! しかし、たかが $n=4$ の時でさえ、必要な知識が二つあります。 それが 「無限降下法」という証明方法と、「原始ピタゴラス数」を作り出す方法 です。 ですので、まずはその二つの知識について解説していきたいと思います。 役に立つ内容であることは間違いないので、ぜひご覧いただければと思います♪ 無限降下法 まずは 無限降下法 についてです!
フェルマーの最終定理とは？証明の論文の理解のために超わかりやすく解説！ | 遊ぶ数学
三平方の定理 \[ x^2+y^2 \] を満たす整数は無数にある. \( 3^2+4^2=5^2 \), \(5^2+12^2=13^2\) この両辺を z^2 で割った \[ (\frac{x}{z})^2+(\frac{y}{z})^2=1 \] 整数x, y, z に対し有理数s=x/z, t=y/zとすれば,半径1の円 s^2+t^2=1 となる. つまり,原点を中心とする半径1の円の上に有理数(分数)の点が無数にある. フェルマーの最終定理とは？証明の論文の理解のために超わかりやすく解説！ | 遊ぶ数学. これは 円 \[ x^2+y^2=1 \] 上の点 (-1, 0) を通る傾き t の直線 \[ y=t(x+1) \] との交点を使って,\((x, y)\) をパラメトライズすると \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \, \frac{2t}{1+t^2} \right) \] となる. ここで t が有理数ならば,有理数の加減乗除は有理数なので,円上の点 (x, y) は有理点となる.よって円上には無数の有理点が存在することがわかる.有理数の分母を払えば,三平方の定理を満たす無数の整数が存在することがわかる. 円の方程式を t で書き直すと, \[ \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{2t}{1+t^2} \right)^2=1 \] 両辺に \( (1+t^2)^2\) をかけて分母を払うと \[ (1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2 \] 有理数 \( t=\frac{m}{n} \) と整数 \(m, n\) で書き直すと, \[ \left(1-(\frac{m}{n})^2\right)^2+\left(2(\frac{m}{n})\right)^2=\left(1+(\frac{m}{n})^2\right)^2 \] 両辺を \( n^4 \)倍して分母を払うと \[ (n^2-m^2)^2+(2mn)^2=(n^2+m^2)^2 \] つまり3つの整数 \[ x=n^2-m^2 \] は三平方の定理 \[ x^2+y^2=z^2 \] を満たす.この m, n に順次整数を入れていけば三平方の定理を満たす3つの整数を無限にたくさん見つけられる. \( 3^2+4^2=5^2 \) \( 5^2+12^2=13^2 \) \( 8^2+15^2=17^2 \) \( 20^2+21^2=29^2 \) \( 9^2+40^2=41^2 \) \( 12^2+35^2=37^2 \) \( 11^2+60^2=61^2 \) … 古代ギリシャのディオファントスはこうしたことをたくさん調べて「算術」という本にした.
フェルマーの最終定理(N=4)の証明【無限降下法】 - Youtube
これは口で説明するより、実際に使って見せた方がわかりやすいかと思いますので、さっそくですが問題を通して解説していきます! 問題.
査読にも困難をきわめた600ページの大論文 2018. 1.