制御系の安定判別(ラウスの安定判別) | 電験3種「理論」最速合格 | 性格 に 難 あり 女
ラウスの安定判別法(例題:安定なKの範囲1) - YouTube
ラウスの安定判別法 証明
自動制御 8.制御系の安定判別法(ナイキスト線図) 前回の記事は こちら 要チェック! 制御系の安定判別(ラウスの安定判別) | 電験3種「理論」最速合格. 一瞬で理解する定常偏差【自動制御】 自動制御 7.定常偏差 前回の記事はこちら 定常偏差とは フィードバック制御は目標値に向かって制御値が変動するが、時間が十分経過して制御が終わった後にも残ってしまった誤差のことを定常偏差といいます。... 続きを見る 制御系の安定判別 一般的にフィードバック制御系において、目標値の変動や外乱があったとき制御系に振動などが生じる。 その振動が収束するか発散するかを表すものを制御系の安定性という。 ポイント 振動が減衰して制御系が落ち着く → 安定 振動が持続するor発散する → 不安定 安定判別法 制御系の安定性については理解したと思いますので、次にどうやって安定か不安定かを見分けるのかについて説明します。 制御系の安定判別法は大きく2つに分けられます。 ①ナイキスト線図 ②ラウス・フルビッツの安定判別法 あおば なんだ、たったの2つか。いけそうだな! 今回は、①ナイキスト線図について説明します。 ナイキスト線図 ナイキスト線図とは、ある周波数応答\(G(j\omega)\)について、複素数平面上において\(\omega\)を0から\(\infty\)まで変化させた軌跡のこと です。 別名、ベクトル軌跡とも呼ばれます。この呼び方の違いは、ナイキスト線図が機械系の呼称、ベクトル軌跡が電気・電子系の呼称だそうです。 それでは、ナイキスト線図での安定判別について説明しますが、やることは単純です。 最初に大まかに説明すると、 開路伝達関数\(G(s)\)に\(s=j\omega\)を代入→グラフを描く→安定か不安定か目で確認する の流れです。 まずは、ナイキスト線図を使った安定判別の方法について具体的に説明します。 ここが今回の重要ポイントとなります。 複素数平面上に描かれたナイキスト線図のグラフと点(-1, j0)の位置関係で安定判別をする. 複素平面上の(-1, j0)がグラフの左側にあれば 安定 複素平面上の(-1, j0)がグラフを通れば 安定限界 (安定と不安定の間) 複素平面上の(-1, j0)がグラフの右側にあれば 不安定 あとはグラフの描き方さえ分かれば全て解決です。 それは演習問題を通して理解していきましょう。 演習問題 一巡(開路)伝達関数が\(G(s) = 1+s+ \displaystyle \frac{1}{s}\)の制御系について次の問題に答えよ.
ラウスの安定判別法 例題
$$ D(s) = a_4 (s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)(s+p_4) $$ これを展開してみます. \begin{eqnarray} D(s) &=& a_4 \left\{s^4 +(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+ p_1 p_2 p_3 p_4 \right\} \\ &=& a_4 s^4 +a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)s^3+a_4(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4 + p_2 p_3 + p_2 p_4 + p_3 p_4)s^2+a_4(p_1 p_2 p_3+p_1 p_2 p_4+ p_2 p_3 p_4)s+a_4 p_1 p_2 p_3 p_4 \\ \end{eqnarray} ここで,システムが安定であるには極(\(-p_1, \ -p_2, \ -p_3, \ -p_4\))がすべて正でなければなりません. システムが安定であるとき,最初の特性方程式と上の式を係数比較すると,係数はすべて同符号でなければ成り立たないことがわかります. 例えば\(s^3\)の項を見ると,最初の特性方程式の係数は\(a_3\)となっています. それに対して,極の位置から求めた特性方程式の係数は\(a_4(p_1+p_2+p_3+p_4)\)となっています. システムが安定であるときは\(-p_1, \ -p_2, \ -p_3, \ -p_4\)がすべて正であるので,\(p_1+p_2+p_3+p_4\)も正になります. 従って,\(a_4\)が正であれば\(a_3\)も正,\(a_4\)が負であれば\(a_3\)も負となるので同符号ということになります. 他の項についても同様のことが言えるので, 特性方程式の係数はすべて同符号 であると言うことができます.0であることもありません. Wikizero - ラウス・フルビッツの安定判別法. 参考書によっては,特性方程式の係数はすべて正であることが条件であると書かれているものもありますが,すべての係数が負であっても特性方程式の両辺に-1を掛ければいいだけなので,言っていることは同じです. ラウス・フルビッツの安定判別のやり方 安定判別のやり方は,以下の2ステップですることができます.
ラウスの安定判別法 安定限界
これでは計算ができないので, \(c_1\)を微小な値\(\epsilon\)として計算を続けます . \begin{eqnarray} d_0 &=& \frac{ \begin{vmatrix} b_2 & b_1 \\ c_1 & c_0 \end{vmatrix}}{-c_1} \\ &=& \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ \epsilon & 6 \end{vmatrix}}{-\epsilon} \\ &=&\frac{2\epsilon-6}{\epsilon} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} e_0 &=& \frac{ \begin{vmatrix} c_1 & c_0 \\ d_0 & 0 \end{vmatrix}}{-d_0} \\ &=& \frac{ \begin{vmatrix} \epsilon & 6 \\ \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0 \end{vmatrix}}{-\frac{2\epsilon-6}{\epsilon}} \\ &=&6 \end{eqnarray} この結果をラウス表に書き込んでいくと以下のようになります. \begin{array}{c|c|c|c|c} \hline s^5 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ \hline s^4 & 2 & 4 & 6 & 0 \\ \hline s^3 & 1 & 2 & 0 & 0\\ \hline s^2 & \epsilon & 6 & 0 & 0 \\ \hline s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & 0 & 0 & 0 \\ \hline s^0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} このようにしてラウス表を作ることができたら,1列目の数値の符号の変化を見ていきます. しかし,今回は途中で0となってしまった要素があったので\(epsilon\)があります. この\(\epsilon\)はすごく微小な値で,正の値か負の値かわかりません. ラウスの安定判別法 安定限界. そこで,\(\epsilon\)が正の時と負の時の両方の場合を考えます. \begin{array}{c|c|c|c} \ &\ & \epsilon>0 & \epsilon<0\\ \hline s^5 & 1 & + & + \\ \hline s^4 & 2 & + & + \\ \hline s^3 & 1 &+ & + \\ \hline s^2 & \epsilon & + & – \\ \hline s^1 & \frac{2\epsilon-6}{\epsilon} & – & + \\ \hline s^0 & 6 & + & + \\ \hline \end{array} 上の表を見ると,\(\epsilon\)が正の時は\(s^2\)から\(s^1\)と\(s^1\)から\(s^0\)の時の2回符号が変化しています.
ラウスの安定判別法 0
著者関連情報 関連記事 閲覧履歴 発行機関からのお知らせ 【電気学会会員の方】電気学会誌を無料でご覧いただけます(会員ご本人のみの個人としての利用に限ります)。購読者番号欄にMyページへのログインIDを,パスワード欄に 生年月日8ケタ (西暦,半角数字。例:19800303)を入力して下さい。 ダウンロード 記事(PDF)の閲覧方法はこちら 閲覧方法 (389. 7K)
(1)ナイキスト線図を描け (2)上記(1)の線図を用いてこの制御系の安定性を判別せよ (1)まず、\(G(s)\)に\(s=j\omega\)を代入して周波数伝達関数\(G(j\omega)\)を求める. $$G(j\omega) = 1 + j\omega + \displaystyle \frac{1}{j\omega} = 1 + j(\omega - \displaystyle \frac{1}{\omega}) $$ このとき、 \(\omega=0\)のとき \(G(j\omega) = 1 - j\infty\) \(\omega=1\)のとき \(G(j\omega) = 1\) \(\omega=\infty\)のとき \(G(j\omega) = 1 + j\infty\) あおば ここでのポイントは\(\omega=0\)と\(\omega=\infty\)、実軸や虚数軸との交点を求めること! これらを複素数平面上に描くとこのようになります. ラウスの安定判別法の簡易証明と物理的意味付け. (2)グラフの左側に(-1, j0)があるので、この制御系は安定である. 今回は以上です。演習問題を通してナイキスト線図の安定判別法を理解できましたか? 次回も安定判別法の説明をします。お疲れさまでした。 参考 制御系の安定判別法について、より深く学びたい方は こちらの本 を参考にしてください。 演習問題も多く記載されています。 次の記事はこちら 次の記事 ラウス・フルビッツの安定判別法 自動制御 9.制御系の安定判別法(ラウス・フルビッツの安定判別法) 前回の記事はこちら 今回理解すること 前回の記事でナイキスト線図を使う安定判別法を説明しました。 今回は、ラウス・フルビッツの安定判... 続きを見る
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